近世代数

原文标题：Algebra 作者：Oleg Kiselyov 原文链接：Algebra 代数式副作用（algebraic effects）和代数数据类型（algebraic data type）中的「代数」究竟是什么？哪些模块/对象的签名是「代数」的？「代数」到底是什么？自由代数（free algebra）的「自由」在哪里？初始代数（initial algebra）是什么，它有什么用，我们如何证明一个代数具有「初始性」？我们能准确地描述 tagless-final 式 DSL 嵌入，及其解释器的正确性吗？如果能描述，如何证明这种正确性？ 本文以讲义的形式展示了一些泛代数（Universal Algebra）领域的标准入门材料，旨在解答这一类问题。不过，这些材料是专门为程序员，尤其是那些对 tagless-final 方法感兴趣的程序员所挑选和安排的。我们只使用编程中遇到的例子，并尽可能使用具体的编程语言中的符号，而非数学符号。 导言 什么是代数（Algebra）？Garet Birkhoff 被现在的人们誉为「泛代数」领域的创始人，他是这么说的： By an `abstract algebra’ is meant, loosely speaking, any system of elements and operations such as a ring, a field, a group, or a Boolean algebra. 译：「抽象代数」泛指那些由元素和运算组成的系统：如环、域、群和布尔代数。（Birkhoff，1935） 随后，他又提出了一个「临时用的形式定义」，这一定义现在仍被人们使用（稍后会回顾这些形式定义）。 泛代数是数学的一个领域——关于泛代数的课程和教科书的很大一部分内容是格论（Lattice theory）和组合数学（Combinatorics）。看起来，这似乎与常见的编程任务没有太大联系。但世事无常，造化弄人，自动机（Automata）理论（有限状态机、Kleene 代数、正则表达式）是代数在计算机科学的最早应用之一。根据 Gougen 等人（1977）的说法：Burstall 和 Landin 共著的《Programs and their proofs: An algbraic approach》（1969）首次在编程语言语义学研究中使用了泛代数和（隐含的）代数初始性。F. L. Morris（《Correctness of translations of programming languages》斯坦福大学博士论文，1972 年）则引入了编程语言中最为常见的多类别代数。而在计算机科学中全面引入代数和范畴论技术，应归功于 ADJ 四人帮（J....